Power series of arctan(2x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy

– [Voz en off] Lo que me gustaría que hiciéramos en este video es encontrar la
representación de la serie de potencias o encontrar la
aproximación de la serie de potencias (risas) la
aproximación de la serie de potencias del arcotangente de dos x centrado en cero y digamos que queremos
la primera cuatro términos distintos de cero de la aproximación de la serie de potencias
del arcotangente de dos x con centro en cero, por lo que es esencialmente la
serie de Maclaurin del arcotangente de dos x, los primeros cuatro
términos distintos de cero. Si te sientes bien al respecto, te animo a que pauses el video y trates de resolverlo tú mismo. Es posible que haya tratado de resolverlo y probablemente haya tomado la primera derivada. Probablemente viste eso, oye, la derivada con respecto a x del arcotangente de dos x es igual a
y esto es un repaso si no te diste cuenta la primera vez. Va a ser que la
derivada del arcotangente de x es uno sobre uno más x al cuadrado, así que esta va a ser la derivada de esto, que es dos sobre uno más todo esto al cuadrado.

Uno más, diría
uno más cuatro x al cuadrado y luego, a medida que trataste de
encontrar más términos de la serie de Maclaurin, habrías tomado
más derivados de esto y se habría vuelto muy peludo, muy rápido si especialmente si estamos buscando los primeros cuatro términos distintos de cero. Probablemente te des cuenta, hey , debe haber algún tipo de idea que aún no había apreciado por completo cuando solo intenté avanzar o sin juego de palabras, potenciar para encontrar la serie de potencias, los primeros cuatro
términos distintos de cero de la serie de potencias.

Cero centrado del arco tangente de dos x. Tienes razón,
hay una idea clave aquí. La idea clave aquí es bueno, en lugar de hacerlo directamente, veamos si podemos
encontrar la representación de la serie de potencias, los primeros
cuatro términos de esto aquí y luego
podemos tomar la antiderivada de eso para encontrar la serie de potencias del arcotangente. de dos x asegurándonos de que obtengamos la constante correcta que satisfaga el hecho de
que estamos centrados en cero, así que sé lo
que estás pensando ahora. Bueno, eso parece que nos está llevando exactamente al mismo problema. Si quiero encontrar la
representación en serie de potencias de esto, los primeros cuatro términos, todavía tengo que tomar
la derivada de esto varias veces, parece igual de difícil, pero esta es la idea clave
, supongo que se podría decir.

La idea clave es digamos f de x, que por supuesto es la derivada del arcotangente de dos x es dos sobre uno más cuatro x al cuadrado. Ahora, si tuviéramos otra función que lo limpia un poco para que no tengamos toda esta vellosidad cuando tomamos las derivadas. Digamos que tuviéramos otra función g de x, estoy usando el color que no he usado. Digamos que tengo g de x es igual a uno sobre uno más x. Esto es algo interesante
porque es muy fácil y es lo mismo que uno más x elevado a la potencia negativa uno. g de x es interesante
porque es muy fácil sacar sus derivadas. Por ejemplo, g prima de x va a ser igual a la derivada de la regla de la cadena uno más x es solo uno, así que va a ser igual
a menos uno más x a la potencia negativa dos si quiero sacar la
segunda derivada de eso. g prima prima de x que
va a ser menos dos por menos uno es
dos por uno más x a la potencia de tres negativa.

Si quiero sacar la
tercera derivada de eso, eso va a ser, veamos. Menos tres por dos, su negativo seis por uno más x elevado a la
potencia cuatro negativa. Sé que estás diciendo: "Sal, ¿no estamos preocupados por esto? "¿Por qué estás haciendo esto?" Bueno, solo desnuda conmigo por un segundo. Solo dije rápidamente, pude encontrar las primeras tres derivadas de g de x y es muy fácil
encontrar los primeros cuatro términos de su representación en serie de potencias, especialmente es Maclaurin, esa es la serie de Maclaurin si la serie de potencias está centrada en cero. Solo tenemos que evaluar
cada uno de estos en cero. g de cero es igual a uno, g prima de cero es igual a menos uno. g primo, primo de cero, entonces uno más cero y
luego el tres negativo, eso es solo uno por dos es igual a dos y luego la tercera
derivada evaluada en cero es igual a seis negativo.

Podría escribir que g de x es aproximadamente igual, así que solo voy a hacer
los primeros cuatro términos aquí, será g de cero, que es uno menos g prima de cero por x. Eso es menos uno por
x, por lo que es menos x más g prima, prima de cero dos sobre dos factorial por x al cuadrado. Bueno, esto es solo uno por x al cuadrado, así que déjame escribir eso.

Eso va a ser más x al cuadrado y luego tenemos más g
prima, prima, prima de cero, que es menos seis sobre tres factoriales x elevado a la tercera. Bueno, tres factoriales son seis, por lo que menos seis dividido por
seis es solo menos uno. Eso va a ser
x negativa a la tercera, x negativa a la tercera y
sé lo que estás pensando. "Muy bien Sal, acabas de
empezar con un problema difícil "y te diste
un problema mucho más fácil "para encontrar la representación de la serie de potencias. "¿Cómo es útil?" Bueno, esta es la idea clave
que he estado prometiendo todo el tiempo.

este video hasta ahora. La idea clave, la
idea clave largamente prometida es que y estoy encontrando un
color adecuado para una idea clave es que podemos escribir f de x. Observe que f de x es solo dos veces, f de x es dos por g de cuatro x al cuadrado. Observe que reemplaza sus
x con cuatro x al cuadrado. Vas a tener uno
sobre uno más cuatro x al cuadrado y luego multiplicas
todo eso por dos, obtienes esto justo aquí. Si f de x es igual a eso, entonces f de x es una representación de serie de potencias, solo
tomará esta serie de potencias o al menos los primeros cuatro términos de ella y reemplazará las x con cuatro cuadrados x y luego
multiplicará todo por dos. , así que hagámoslo. Podemos escribir que f de x, entonces podríamos escribir que f de x va a ser aproximadamente igual l a dos veces esta cosa, un valor cuando x es igual a cuatro x al cuadrado.

Es uno menos en lugar de una x, voy a escribir cuatro x al cuadrado más x al cuadrado pero en lugar de una x, tengo cuatro x al cuadrado al cuadrado. Esto es más cuatro x al cuadrado al cuadrado. Bueno, eso va a
ser 16 x elevado a la cuarta , déjame escribir eso, va a ser más 16 x elevado a la cuarta y finalmente menos x elevado a la tercera, pero ahora una x es cuatro x al cuadrado, entonces es menos cuatro x
elevado al cuadrado a el tercer poder.

Bueno, eso va a ser 64 x a la sexta. Permítanme escribir eso, menos 64 x a la sexta potencia y luego podríamos decir
que esto va a ser así que f de x es aproximadamente igual a, distribuya los dos, dos
menos ocho x al cuadrado más 32 x a la cuarta menos 128 x al sexto. Así, con un
poco de sustitución, pude razonablemente
encontrar los primeros cuatro términos distintos de cero de la serie de potencias de dos
sobre uno más cuatro x al cuadrado, que es la derivada, que será la derivada. de la serie de potencias del arcotangente de dos x. Escribamos esto,
entonces voy a escribir, voy a escribir, entonces arcotangente de dos x, arcotangente de dos x que es igual a una antiderivada de f de x, dx que va a ser
igual a una antiderivada de este todo, todo este negocio. Es la antiderivada
de dos menos ocho, menos ocho x al cuadrado más 32 x elevado al cuarto menos 128 x elevado al sexto. De hecho, permítanme hacer esto aproximado porque ahora, por supuesto
, estamos haciendo una aproximación con la serie de potencias.

Dx y a que va a ser igual esto? Obtenemos aproximadamente igual a bueno, voy a tener una constante allí. Permítanme escribir la constante primero porque cuando escribimos nuestra
serie de potencias o Serie de Maclaurin, el primer término es el término constante. Es nuestra función evaluada para sumar cero. Vamos a tener una constante, si tomo la antiderivada de dos , será más dos x. La antiderivada de esto,
veamos, xa la tercera divide ocho por tres, así que es menos 8/3 xa la tercera potencia y luego más 32 xa la quinta sobre cinco menos 128 xa la séptima sobre siete.

Estamos en la recta final. Tenemos al menos cuatro términos distintos de cero, si esto es distinto de cero , habrá cinco términos distintos de cero, pero ahora asegurémonos de que nuestra constante sea
apropiada para el arcotangente de dos x. Esto es esencialmente
evaluar a qué arcotangente de cuándo esta función,
cuando x es igual a cero. ¿Qué es el arcotangente de cero? Recuerde que esto está centrado en cero, así que será mejor que lo hagamos allí. Eso es lo más básico si estamos haciendo la
representación de la Serie Maclaurin. Nos estamos centrando en cero, por lo que es mejor que nuestra aproximación evaluada en cero sea lo mismo que
una función de cero evaluado. Bueno, la arcotangente de dos por cero va a ser cero y entonces esto cuando
lo evalúas en cero, esto llega a C, entonces esto llega a C debe ser igual a cero.

C debe ser igual a cero si
queremos que esto sea cero cuando X es igual a cero. Solo así hemos terminado. Hemos podido
averiguar que el arcotangente de dos x es aproximadamente igual a dos x menos 8/3 x a la tercera potencia más 32 sobre cinco x a la quinta menos 128 sobre siete x a la siete. Si quisiéramos más términos, podríamos haber obtenido más términos simplemente haciendo lo que acabamos de hacer pero haciéndolo por más términos. Esperemos que hayas disfrutado de
ese problema bastante peludo, pero como viste, no es
tan peludo como pensábamos que iba a ser..

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