The Search for Siegel Zeros – Numberphile

Así que Brady Yitang Zhang, el famoso
matemático chino, lo ha vuelto a hacer. Hace aproximadamente 10 años hicimos un video sobre la
conjetura de los primos gemelos que se resolvió, bueno, no se resolvió por completo, pero este matemático chino desconocido hizo un gran progreso
. Surgió literalmente de la nada e hizo un gran progreso. Entonces,
para resumir de qué se trataba, la conjetura de los números primos gemelos, ahí es donde sabes que hemos sabido durante
muchos años, desde los días de Euclides, que hay un número infinito de números primos.

Lo que
dice la conjetura de los primos gemelos es que hay un número infinito de primos que difieren en solo 2.
Entonces, si p es un primo, entonces p + 2 también sería un primo. Y debería haber un número infinito de
esos tipos. Ahora bien, Yitang no demostró ese resultado, pero lo que sí demostró fue que hay un
número infinito de números primos que difieren en 70 millones. Así que sigue siendo un, ya sabes, un número finito. Y
luego, desde esa notable prueba, los matemáticos se han unido, han colaborado en
algo llamado proyecto polímata, y han logrado reducir esa brecha a, creo,
246.

Así que ahora sabemos que hay un número infinito de números primos. que difieren en 246. Todo esto se debe
a Yitang Zhang; pero ahora lo ha vuelto a hacer con otro gran resultado, ya sabes, un posible gran
resultado en la teoría analítica de números. Y tiene que ver con algo llamado ceros de Siegel.
– (Brady: ¿Ceros de gaviota?)
– Ceros de Siegel, o ceros de Landau-Seigell. (¿Qué son?)
Para entender realmente qué es esto, tenemos
que volver a la hipótesis de Riemann; sobre el que sé que has hecho videos antes. Entonces, solo para recordar rápidamente de qué se trata todo eso; así que ya sabes, piensa en esto: la llamada
función zeta que hemos visto antes en muchos contextos controvertidos. Aquí es donde
tomas la suma de n mayor que igual a 1 de n elevado a menos s. Así que esto sería como, ya sabes,
si tuvieras 1 elevado a menos s, más 2 elevado a menos s, más 3 elevado a menos s y así sucesivamente incluyendo
todos los enteros.

Entonces esto se conoce como la función de Riemann-Zeta. Sabes, por ejemplo,
sabemos que si establecemos este número s en -1 entonces tenemos la suma de todos los números enteros, o todos los
números enteros positivos, y sabemos lo que nos da: sin ninguna controversia nos da menos 1 /12.
– "La respuesta a esta suma es notablemente menos 1/12". Pero esta es una función muy interesante
en la teoría analítica de números; sabemos que si esto es, si su parte real es mayor que 1, entonces
esta suma convergerá. Y podemos extender la definición de esta función al todo, a todos
los números complejos usando este tipo de proceso matemático llamado continuación analítica. Entonces, esta
cosa se puede definir en principio para todos los números complejos. Lo realmente interesante de este tipo
es dónde desaparece. Hay un resultado interesante de que puedes vincular esto con números primos.
Este es un resultado famoso debido a Euler que si repaso todos los números primos como este,
si tomo productos de números primos como este: al -1, 1 menos 3 menos s
al -1, 1 menos 5 al menos s.

Entonces 5, menos 1- y así. Tomo
todos estos productos, así que tomo estas combinaciones de números primos, así que estas son todas las
entradas de números primos que se encuentran aquí, y puedo continuar todo el camino hasta el infinito; esto también está relacionado
con la función zeta. Este es un resultado debido a Euler. Así que creo que has discutido esto antes, ¿verdad?
Que esto… así que saber acerca de esta función te informa sobre los números primos y cómo se distribuyen los números primos
. Una de las cosas interesantes que hay que preguntarse es ¿dónde desaparece esta función? Podemos dibujar el
plano complejo, está bien; entonces esta es la parte real de s, esta es la parte imaginaria de s. Si dibujo la línea
donde s es igual a esto es 1 aquí, 0 aquí, entonces esta es la línea donde la parte real de s
es 1, esta es la línea donde la parte real de s es 0. Y sabemos la función converge
en esta región aquí a la derecha de 1. Puedo continuar los resultados a todo el plano complejo.

Lo
sé, resulta que se puede mostrar con bastante facilidad que hay 0 en -2, -4 y
básicamente todo este tipo de valores pares negativos. Aquí es donde hay, lo sabemos, estos se llaman
los ceros triviales de la función zeta. No son tan interesantes. Lo interesante son los
llamados ceros no triviales. Y se sabe que esos ceros no triviales estarán en esta
franja crítica entre 0 y 1. La famosa hipótesis de Riemann dice que no solo se encuentran en
esta franja, sino que en realidad se encuentran en una línea en particular, donde la parte real de este número complejo s
es 1/2.

Entonces, la afirmación de la hipótesis de Riemann es que todos los ceros no triviales de esta
función muy importante que está relacionada con los números primos estarán aquí en esta línea. Entonces
todos estarán aquí, aquí, donde sea que estén. Esa es la afirmación de la hipótesis de Riemann. Así que ahora uno puede
generalizar esto, tener algo, generalizar esta idea a algo llamado
hipótesis de Riemann generalizada, es muy similar. Entonces, lo que hacemos es generalizar un poco esta función. Entonces,
lo que hacemos es en lugar de considerar estas sumas sobre n menos s, consideramos un conjunto relacionado
de sumas.

Por lo tanto, sigue siendo muy similar, por lo que todavía tiene su n a menos s como teníamos antes,
pero ahora lo ponderamos con este factor de ponderación. Básicamente, es muy similar a lo que tenemos
antes, pero están ligeramente ponderados, cada contribución está ligeramente ponderada por este número chi.
Entonces, si desea escribirlo en su totalidad, sería chi-d de 1 (1 elevado a -s) más chi-d de 2 (2
elevado a -s) y así sucesivamente, correcto. Estas se denominan funciones L de Dirichlet.

Y estos muchachos, estos
factores, bueno, estos son el tipo de ingrediente nuevo que tenemos ahora. Tienen varias propiedades; por
supuesto, estas funciones que se encuentran al frente aquí , básicamente, ya sabes, toman números enteros
n a algún número complejo, está bien, y eso es lo que son. Son solo una función que hace eso.
Tienen muchas propiedades de las que puede hablar, pero no queremos entrar en todos los detalles. El
más importante es lo que representa esta D y se llama módulo.

Y esa es solo la
afirmación de que sea lo que sea esta función, es periódica. Entonces, si tomo un número entero y luego le
agrego D, entonces no cambia el valor de lo que hace esta función. Entonces, si yo, por ejemplo,
si evalúo esta función en n es igual a 1, obtengo el mismo valor en D + 1; ¿Ves
lo que quiero decir? Así que es solo… es periódico, solo se repite, ¿de acuerdo? Así que ejemplos de esto, ¿verdad? Entonces, si
el módulo es, si D es igual a 1, si el módulo es 1, entonces esto tiene que ser el
carácter trivial, lo que se llama el carácter trivial, y eso significa que es solo 1, siempre es 1, 1 en
todas partes nos devuelve este. Si el módulo es 2, entonces lo único que puede
tener es lo que se llama el carácter principal; y lo que es eso, eso es- eso cambia entre
uh 0 y 1. Y creo que es um es 1 para números impares y 0 para números pares.

Y entonces solo
tiene ese tipo de ponderación. Si vas a D más alto, módulo más alto, obtienes cosas más complicadas.
Es solo una construcción matemática. Los detalles realmente no importan. El punto es que esto es
como una generalización de la función zeta, ¿de acuerdo? La afirmación de la hipótesis de Riemann generalizada
es que, para estos tipos, nuevamente los ceros no triviales se encuentran en esta línea crítica. Esa es la
hipótesis de Reimann generalizada.

Así que dimos la vuelta, ahora tenemos que volver a los ceros de Siegel. Los ceros de Siegel
son un contraejemplo de eso. Entonces, los ceros de Siegel son ceros que no se encuentran en esta línea; de hecho, son
ceros que potencialmente se encuentran muy cerca de esta línea, donde la parte real es 1. En particular, estarán más o
menos por aquí; entonces son ceros reales que se encuentran muy cerca de 1 básicamente. Esa es la
idea de un cero de Siegel. Si existe un cero de Siegel, entonces puedes probar todo tipo de cosas maravillosas.
Entonces, hay un montón de demostraciones que puedes hacer en la teoría analítica de números que se basan en la
existencia de un cero de Siegel. Si existe, puedes probar esto; si no existe, bueno, tal vez
no puedas probarlo. Aquí hay un ejemplo: hay algo llamado el Teorema de Heath-Brown. Dice
lo siguiente: uno de los siguientes tiene que ser verdadero: no hay ceros de Siegel o la
conjetura de los primos gemelos es verdadera.

Así que uno de esos tiene que ser cierto, ¿de acuerdo? Ambos no pueden ser falsos. Entonces, en
otras palabras, si encuentras un cero de Siegel, si puedes demostrar que existe, entonces eso significa que
la conjetura de los primos gemelos tiene que ser cierta, ¿ves? Entonces, puede ver que la existencia
o ausencia de estos ceros de Siegel es realmente importante para las pruebas en la teoría analítica de números.
Bien, entonces esto es en lo que está pensando Yitang. Bien, ahora la declaración precisa de dónde se
encuentra el cero de Seigel es la siguiente : debería estar en la línea real muy cerca
de 1, ¿qué tan cerca? Bueno, eso es parte del teorema. Debería estar dentro de una pequeña distancia aquí,
que debería ir como c, que es solo un número, sobre log D. Así que recuerda qué son estas cosas; c
es solo un número, es un número absoluto, no importa qué sea, es solo un número,
no depende de D. D es este tipo de propiedad periódica, el módulo de estos de estos caracteres
aquí. Ese es el reclamo del cero de Siegel; si existe, debería estar en esta pequeña y diminuta región
cerca de 1, ¿de acuerdo? Y ese ancho de eso es c sobre log D, ¿verdad? Si existe, por supuesto, la
hipótesis de Riemann generalizada también es falsa.

Eso es otra cosa verdad? Porque sabes
que si ese es el… si ese cero está allí, entonces está fuera de la línea, está fuera de la
línea crítica derecha, por lo que es otro resultado importante. ¿Qué demostró Yitang? No probó la
ausencia de estos ceros, no probó eso. Demostró, entonces, lo que le gustaría mostrar es que
estos ceros no existen en ninguna de estas regiones aquí. (Elimine esa área).
Quiere eliminar esa
área, esa es la cosa por la que se está esforzando. Él no hizo eso. Se las arregló
para demostrar que los ceros no existían en una región mucho más delgada, ¿de acuerdo? Y la región
que estaba mirando tenía este ancho: Bien, entonces pudo probar que esta es una
región mucho más delgada, mucho más cercana a 1, y pudo demostrar que no había ceros en algo
de ese ancho ¿Okey? Ahora quizás te preguntes de dónde diablos viene ese 2024, ¿verdad? Bueno,
lo hizo demostrando un resultado relacionado que incluía el número 2022, que por supuesto fue este
año, ¿verdad? Así que es una elección un poco arbitraria.

Él mismo dice que puede reducir este número
a unos cientos; si puede reducirlo al 1 que necesitas para captar realmente esta
afirmación sobre los ceros de Siegel y dónde están y lo que luego se incorporará a
todas estas otras pruebas; bueno, hablé con algunas teorías de números aquí en Nottingham y ellos
decíamos que probablemente se necesitarán nuevos aportes para hacerlo. Pero sigue siendo un gran
avance, todavía es una especie de avance real, si es correcto, en comparación con lo que había antes.
– (¿Ha estrechado un poco el campo de búsqueda?) Sí. Básicamente, ha podido demostrar que
si te acercas mucho al 1 en esta región, aquí no hay ceros de Siegel. Pero para
capturar la declaración completa, debe probarla en esta región un poco más grande, ¿de acuerdo? Y a medida
que reduzcamos este número, esa región se hará más y más grande y más grande y más
grande hasta que captures todo y luego, una vez que tengas eso, todos estos factores que
van a otras pruebas, y esto, eso y el otro , realmente se activará.

Incluso este resultado puede tener un
impacto en algún tipo de otras pruebas matemáticas. (¿Quieres que no haya ceros de Siegel?)
– No, me gustaría que hubiera uno. ¡Definitivamente! ¡Porque refuta la hipótesis de Reimann, cierto! O la hipótesis del tratamiento generalizado.
– (Esas son malas noticias si nosotros) (desmentir la hipótesis de Reimann)
– ¡Las cosas nuevas son divertidas, Brady!
Cosas nuevas que no esperas. Entonces, por cierto, la mayoría de los matemáticos dirían que probablemente
no haya un cero de Siegel. Por lo general, la prueba es que se considera lo que se llama ilusorio,
eso es lo que… esa es la terminología que usan. Entonces, puedes probar esto si hay un
cero de Siegel, pero es una prueba ilusoria porque es probable que no haya un cero de Siegel.
– (¿No hay muchas
matemáticas que simplemente se derrumbarán si las refutamos) (¿la hipótesis de Reimann? Será como, oh,
muchas cosas que creíamos que eran ciertas, ¿no hay muchas) (de pruebas de ese tipo) de decir 'esto es asumiendo que la
hipótesis de Riemann es verdadera'?)
– Hay, sí, y pero luego esto profundiza en la teoría de la prueba.
Quiero decir que puede tener um declaraciones que se basan en la corrección de su
hipótesis de Reimann y declaraciones que se basan en el tipo de incorrección de la hipótesis de Riemann en
realidad.

Y luego simplemente toman diferentes ramas de las matemáticas en realidad. Y existe esta
noción realmente interesante, ya sabes, que la gente observa, que es como, um, tratar de desarmar las
teorías de las matemáticas y tratar de entender, um, qué pruebas se basan en qué suposiciones y,
por lo tanto, y luego, si rompes esas, qué hace, qué ¿Qué rama de las matemáticas te lleva?
Entonces, ya sabes, muy vagamente podrías decir bueno, ¿y si digo que solo tengo números reales? ¿
Sabes qué puedo probar? Bueno, entonces solo puedes probar hasta cierto punto, pero luego puedes decir, bueno, puedo
extender mis axiomas, puedo extender las reglas del juego para incluir números complejos y probar
más cosas. Y luego está todo este juego con el que puedes jugar con las matemáticas. Así
que tienes toda la razón. ¡Sería divertido, verdad, si hubiera uno! ¡Oh, ahí está mi pequeño Siegel cero!
¿Qué tan genial sería eso?
– (Le pondrían tu nombre) (Podría convertirse en el cero de Padilla.)
– Bueno, si lo
encontrara, no creo que haya muchas posibilidades de que lo encuentre.

Está ahí en alguna parte, ¿verdad? Pero pero ya
sabes; así que esto, por supuesto, también tiene implicaciones en la física, al menos en la distribución
de los números primos. Entonces, los ceros de la función zeta, ya sabes, se han conectado a
niveles de energía de núcleos pesados. Entonces, hay una conexión allí, ¿verdad? Entonces, comprender los
ceros de la función zeta tal vez pueda decirle algo sobre los niveles de energía de los núcleos pesados
, están distribuidos, ya sabe. Es realmente bastante profundo potencialmente. En términos de este, este
resultado, este último resultado que ha probado, um, el jurado aún está deliberando entre el
mundo matemático, como debería ser. Matemáticas tiene este tipo de filosofía brillante de que lo que hacen
es, ya sabes, realmente… el proceso de revisión por pares es increíble en matemáticas. Les toma
mucho tiempo deshacer el trabajo del otro y es un proceso realmente serio.

Así que
probablemente llevará al menos un año. Sabes, personas como Terry Tao, por ejemplo, ya han
comentado sobre el manuscrito diciendo que, ejem, cierto tipo de ecuación inconsistente
, referencias a ecuaciones y cosas en el documento que hacen que sea difícil
de seguir. la prueba y comprobarlo. Entonces, um, ya saben, solo necesita un tiempo para ajustarlo,
ordenarlo y luego decir, listo, muchachos, ahora verifiquen, vean si están de acuerdo. Y en
realidad puede ser que no estén de acuerdo; Quiero decir que esto ha pasado antes, ¿verdad? Puede ser que detecten un
pequeño error. Pero luego, lo que sucede normalmente, es una cultura tan saludable, lo que sucederá entonces es que, en
lugar de que todos digan 'oh, está mal', probablemente, ya sabes, intentarán trabajar juntos
con la persona que revisa el documento y, de hecho, intentarán arreglarlo.

y en realidad- Sabes que esto ha
sucedido en el pasado con el último teorema de Fermat y cosas así, por supuesto. Entonces, sí, supongo que
el jurado aún está deliberando, pero es potencialmente muy emocionante. ¿Cómo construyes un cerebro
que resuelva los problemas más salvajes del universo? Bueno, puede comenzar ejercitándolo en
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sobre aritmética modular que Tony mencionó hoy. En realidad, ¡tienen un montón de
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cuál será la próxima pregunta, al menos yo lo hago. Así que no seas un 'TONTO', sé un 'DOLOF'.

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búsqueda del libro de Tony "Números fantásticos y dónde encontrarlos" ahora es mucho más fácil porque
se publicó en los EE. UU. Puede ver las portadas   del Reino Unido y de EE. UU. aquí en la pantalla.
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