00:01
Derek ¿Cuál es la conexión entre un grifo que
gotea, el Conjunto de Mandelbrot, una población de conejos, la convección térmica en un
fluido y la activación de neuronas en tu cerebro? 00:11
Derek Es esta simple ecuación. 00:24
Derek Digamos que quieres modelar una población
de conejos. Si tienes x conejos este año
¿cuántos conejos tendrás el próximo año? Bien, el modelo más simple que puedo imaginar
es, donde simplemente multiplicamos por algún número, la tasa de crecimiento r, que podría
ser 2 E implicaría que la población se duplicaría
cada año. Pero el problema con eso es que implica que
la cantidad de conejos crecería exponencialmente para siempre. 00:52
Derek Entonces puedo agregar el término, 1 menos
x, para representar las restricciones del entorno.
Y aquí estoy imaginando que la población x es un porcentaje del máximo teórico.
Entonces va de 0 a 1 y cuando se acerca a ese máximo, este término tiende a 0.
Y eso limita a la población.
Así que este es el mapa logístico.
xn + 1, es la población el próximo año y xn es la población este año. 01:21
Derek Y si representamos gráficamente la población
del año próximo versus la población de este año, veremos que es una parábola invertida.
Es la ecuación más simple que puedes hacer con un ciclo de retroalimentación negativa.
Cuanto más grande sea la población, aquí, menor será el año siguiente.
Entonces, probemos un ejemplo.
01:42
Derek Digamos que estamos tratando con un grupo
particularmente activo de conejos. Entonces, r es igual a 2,6 y luego escojamos
una población inicial del 40% del máximo. Entonces coma 4.
Y luego por 1 menos 0,4 y obtenemos 0,624. Bien, entonces la población aumentó en el
primer año. Pero lo que realmente nos interesa es el comportamiento
a largo plazo de esta población.
Podemos volver a poner a esta población en
la ecuación y para acelerar las cosas, podemos escribir 2,6 por Ans por 1 menos Ans,
Igual a 0,61 Entonces la población bajó
un poco. Otra vez…
0,619 0,613
0,617 0,615
0,616 0,615
Y si sigo presionando Enter, veremos que la población no cambia.
Se ha estabilizado, lo que coincide con lo que vemos en las poblaciones silvestres, a
menudo permanece igual siempre que los nacimientos y las muertes sean equilibrados.
02:46
Derek Ahora quiero hacer un gráfico de esta iteración.
Aquí vemos, que ha alcanzado un valor de equilibrio en 0,615.
Ahora, ¿qué pasaría si cambio la población inicial?
Solo moveré esto aquí y vemos que cambian los primeros años, pero la población de
equilibrio sigue siendo la misma. Entonces básicamente podemos ignorar la población
inicial. 03:13
Derek Lo que realmente me interesa es ver cómo
varía esta población de equilibrio dependiendo de r, la tasa de crecimiento, como podemos
ver, si disminuyo la tasa de crecimiento, la población de equilibrio disminuye.
Tiene sentido y, de hecho, si r cae por debajo de uno, entonces,
la población cae y finalmente se extingue.
Entonces, quiero hacer otro gráfico donde
en el eje x tengo r, la tasa de crecimiento, y en el eje y, trazo la población de equilibrio.
La población que obtenemos después de muchas muchas muchas generaciones. 03:52
Derek Bien, para valores bajos de r vemos que las
poblaciones siempre se extinguen. El valor de equilibrio es cero.
Pero una vez que llegamos a 1, la población se estabiliza a un valor constante y cuanto
mayor es r, mayor es la población de equilibrio. 04:07
Derek Hasta aquí todo bien.
Pero ahora viene la parte extraña.
Una vez que r supera 3, el gráfico se divide
en dos. ¿Por qué?
¿Qué sucede? Sin importar cuántas veces iteremos la ecuación,
nunca se establece en un solo valor constante. En cambio, oscila de un lado a otro entre
dos valores. Un año, la población es mayor, al año siguiente,
menor, y luego el ciclo se repite. 04:34
Derek La naturaleza cíclica de las poblaciones
también se observa en la naturaleza, un año puede haber más conejos y luego menos al
año siguiente. y más nuevamente al año siguiente.
A medida que r continúa aumentando, la bifurcación se separa más y luego cada una se divide
nuevamente. 04:49
Derek Ahora, en lugar de oscilar entre dos valores,
las poblaciones pasan por un ciclo de cuatro años, antes de repetirse.
Dado que la duración del ciclo o período se ha duplicado, estos se conocen como bifurcación
de período doble, y a medida que r aumenta más, hay más períodos
de duplicación de la bifurcación. Son cada vez más rápidos y llevan a ciclos de 8,
16, 32, 64 y luego en r es igual a 3,57… el caos.
05:19
Derek La población nunca se estabiliza, en absoluto.
Rebota como si fuera al azar. De hecho, esta ecuación proporcionó uno
de los primeros métodos para generar números aleatorios en las computadoras.
Era una forma de obtener algo impredecible de una máquina determinista. Aquí no hay
un patrón, no hay repetición. Por supuesto, si supiéramos las condiciones
iniciales exactas, podríamos calcular los valores exactamente.
Por lo tanto, se los considera números pseudoaleatorios. 05:44
Derek Ahora podemos esperar que la ecuación sea
caótica de aquí en adelante, pero a medida que r aumenta, el orden regresa.
Existen estas ventanas de comportamiento periódico estable en medio del caos
Por ejemplo, cuando r es igual a 3,83 hay un ciclo estable con un período de 3 años
y, a medida que r continúa aumentando, se divide en 6, 12, 24 y así sucesivamente,
antes de volver al caos.
De hecho, esta ecuación contiene períodos
de cada longitud, 37, 51, 1052, lo que queramos, si solo tenemos el valor correcto de r. 06:18
Derek Al mirar este diagrama de bifurcación, puedes
notar que se parece a un fractal. Las características a gran escala parecen
repetirse en escalas cada vez más pequeñas y, efectivamente, si nos acercamos, veremos
que, de hecho, es un fractal.
Podría decirse que el fractal más famoso
es el conjunto de Mandelbrot. Lo interesante es que el diagrama de bifurcación
es, en realidad, parte del conjunto de Mandelbrot. ¿Cómo funciona? 06:49
Derek Bien, un resumen rápido. El conjunto de Mandelbrot
se basa en esta ecuación iterada. Entonces, funciona así. Escoges un número
C, cualquier número en el plano complejo y luego comenzamos con z igual a 0.
Y luego iteramos esta ecuación una y otra vez.
Sí explota hasta el infinito, entonces, el número C no es parte del conjunto. 07:11
Derek Pero si este número permanece finito después
de iteraciones ilimitadas, bueno, entonces es parte del conjunto de Mandelbrot.
Intentemos, por ejemplo, que C igual a 1. Tenemos 0 al cuadrado más 1, igual a 1
luego 1 al cuadrado más 1 es igual a 2. 2 al cuadrado más 1 es igual a 5
5 al cuadrado más 1 es igual a 26 Rápidamente podemos ver que con C igual a
1, esta ecuación va a explotar.
Entonces el número 1 no es parte del conjunto
de Mandelbrot. ¿Qué pasa si intentamos que C sea igual
a -1? Bueno, entonces tenemos 0 al cuadrado menos
1, igual a -1 -1 al cuadrado menos 1 es igual a 0
y volvemos a 0 al cuadrado menos 1 , igual a 1 negativo
Vemos que esta función seguirá oscilando entre 1 y 0 negativo y, por lo tanto, seguirá
siendo finita y, por lo tanto, C igual a negativo 1 es parte del conjunto de Mandelbrot. 08:07
Derek Ahora, normalmente, cuando ve imágenes del
conjunto de Mandelbrot, solo se muestra el límite entre los números que hacen que esta
ecuación iterativa permanezca finita y los que hacen que explote.
Pero en realidad no muestra cómo estos números se mantienen finitos.
Así que lo que hemos hecho aquí es iterar esa ecuación miles de veces y luego trazar
en el eje z, el valor que esa iteración realmente toma.
Entonces, si miramos desde un lado, lo que realmente veremos es el diagrama de bifurcación.
Es parte de este conjunto de Mandelbrot.
¿Qué es lo que sucede en realidad?
Bien, lo que nos muestra es que todos los números en el cardioide principal terminan
estabilizándose en un solo valor constante. Pero los números en este bulbo principal
terminarán oscilando entre 2 valores y en este bulbo terminarán oscilando entre 4 valores.
tienen un período de 4 y luego 8 y luego 16, 32 y así sucesivamente.
y luego llegamos a la parte caótica. 09:21
Derek La parte caótica del diagrama de bifurcación
ocurre aquí, en lo que se llama la aguja del conjunto de Mandelbrot, donde el conjunto
de Mandelbrot se vuelve realmente delgado y puedes ver este medallón, aquí, que parece
una versión más pequeña de todo el conjunto de Mandelbrot.
Corresponde a la ventana de estabilidad en el gráfico de bifurcación con un período
de 3.
Ahora, el diagrama de bifurcación solo existe
en la línea real porque solo ponemos números reales en nuestra ecuación, pero todas estos
bulbos están fuera del cardioide principal, bien, también tienen ciclos periódicos de,
por ejemplo, 3 o 4 o 5, y podemos ver estas imágenes fantasmales repetidas, si miramos
en el eje z. Efectivamente, también están oscilando entre
esos valores. 10:17
Derek Personalmente me parece extraordinariamente
hermoso. Pero si tiene una mentalidad más práctica,
puedes preguntarte, pero ¿esta ecuación realmente modela poblaciones de animales?
y la respuesta es sí, particularmente en el ambiente controlado que los científicos
han establecido en los laboratorios.
Lo que me parece aún más sorprendente es
cómo esta simple ecuación se aplica a una amplia gama de áreas de la ciencia sin relación
entre sí. 10:44
Derek La primera confirmación experimental importante
vino de un dinamista de fluidos llamado Lib Taber.
Creó una pequeña caja rectangular con mercurio adentro y usó un pequeño gradiente de temperatura
para inducir la convección. Solo dos cilindros de fluido contra rotativos
dentro de una caja. No había más espacio que para eso en la
caja. y, por supuesto, no podía mirar y ver qué
estaba haciendo el fluido, por lo que midió la temperatura con una sonda en la parte superior
y lo que vio fue un pico regular, un pico periódico, en la temperatura.
Es como cuando la ecuación logística converge en un solo valor. 11:23
Derek Pero a medida que aumentaba el gradiente de
temperatura, se produjo una oscilación en esos cilindros rodantes a la mitad de la frecuencia
original.
Los picos de temperatura ya no tenían la
misma altura. En cambio, iban y venían entre dos alturas
diferentes. Había alcanzado el período 2..
Y a medida que continuó aumentando la temperatura, vio que el período se duplicaba nuevamente.
ahora tenía 4 temperaturas diferentes antes que se repitiese el ciclo y luego 8.
Fue una confirmación bastante espectacular de la teoría, en un experimento bellamente
diseñado 12:02
Derek Pero ese fue solo el comienzo.
Los científicos han estudiado la respuesta de nuestros ojos y los ojos de salamandra
a las luces parpadeantes y lo que encuentran es un período de duplicación.
Una vez que la luz alcanza un cierto índice de parpadeo, nuestros ojos solo responden
a cualquier otro parpadeo. Es sorprendente en estos documentos ver emerger
al diagrama de bifurcación, aunque algo confuso porque proviene de datos del mundo real 12:28
Derek En otro estudio, los científicos les dieron
a los conejos una droga que envió sus corazones a la fibrilación.
Supongo que sentían que había demasiados conejos, es decir, si no sabes qué es la
fibrilación, es donde tu corazón late de una manera muy irregular y, en realidad, no
bombea sangre.
Y, si no lo solucionas, mueres.
Pero lo que encontraron fue que, en el camino a la fibrilación, encontraron el período
duplicaba la ruta hacia el caos. Los conejos comenzaron con un latido periódico
y luego entraron en 2 ciclos, 2 latidos juntos y luego 4 ciclos, 4 latidos diferentes
antes de que se repitiera otra vez y eventualmente un comportamiento periódico. 13:06
Derek Lo que es realmente genial acerca de este
estudio, ya que monitorearon el corazón en tiempo real y utilizaron la teoría del caos
para determinar cuándo aplicar descargas eléctricas al corazón para devolverlo a
la periodicidad y pudieron hacerlo con éxito.
Así que usaron el caos para controlar un
corazón y descubrieron una forma más inteligente de administrar descargas eléctricas para
que volviera a latir normalmente. Es realmente asombroso 13:30
Derek Y luego está el problema del grifo que gotea.
La mayoría de nosotros, por supuesto, pensamos en los grifos que gotean como objetos periódicos
muy regulares Sin embargo, se han realizado muchas investigaciones
para encontrar que una vez que la tasa de flujo aumenta un poco, se duplica el período.
Así que ahora los goteos vienen de a dos Tip tip.. tip tip… tip tip
Y , finalmente, de un grifo que gotea puedes obtener un comportamiento caótico simplemente
ajustando la velocidad de flujo Si pensamos ¿qué es, en realidad, un grifo?
Bueno, hay agua a presión constante y una abertura de tamaño constante y, sin embargo,
lo que obtienes es un goteo caótico.
Entonces, este es un sistema caótico realmente
fácil con el que puedes experimentar en casa, abre un grifo un poco y mira si puedes obtener
un goteo periódico en tu casa. 14:19
Derek El diagrama de bifurcación aparece en tantos
lugares diferentes que comienza a sentirse espeluznante y quiero decirte algo que hará
que parezca aún más espeluznante. El físico Mitchell Feigenbaum estaba analizando
cuando ocurren las bifurcaciones. Dividió el ancho de cada sección de bifurcación
por la siguiente y descubrió que la relación se acercó a este número 4,669
Que ahora se llama la constante de Feigenbaum. Las bifurcaciones son cada vez más rápidas,
pero en una proporción que se acerca a este valor fijo y nadie sabe de dónde proviene
esta constante. No parece estar relacionado con ninguna otra
constante física conocida. Entonces es, en sí misma, una constante fundamental
de la naturaleza 15:10
Derek Lo que es aún más loco es que no tiene que
ser la forma particular de la ecuación que te mostré antes.
Cualquier ecuación que tenga una sola parábola, si la iteras como lo hicimos…
podrías usar xn más 1 igual a seno de X, por ejemplo.
Y sí la iteramos una y otra y otra vez, también veremos las bifurcaciones.
No solo eso, sino que la relación de cuándo ocurren esas bifurcaciones, tendrá la misma
escala 4,669 Cualquier función de parábola iterada nos
dará esa constante fundamental 15:51
Derek Entonces, ¿por qué sucede?
Bueno, se conoce como universalidad porque parecería haber algo fundamental y muy universal
sobre este proceso, este tipo de ecuación y ese valor constante.
En 1976 el biólogo Robert May escribió un documento en Nature sobre esta misma ecuación.
Generó una revolución y las personas que investigan estas cosas, es decir, esos documentos
han sido citados miles de veces… y en el documento indica que deberíamos enseñarles
a los estudiantes acerca de esta simple ecuación porque les daría una nueva intuición de
las formas en que las cosas simples, las ecuaciones simples, pueden crear comportamientos muy
complejos.
y sigo pensando que hoy realmente no les enseñamos
de esta manera. Es decir, enseñamos ecuaciones y resultados
simples porque esas son las cosas fáciles de aprender y esas son las cosas que tienen
sentido. No arrojaremos caos a los estudiantes, aunque
tal vez deberíamos. Tal vez deberíamos lanzarles al menos un
poco… Por eso estoy tan entusiasmado con el caos
y estoy tan entusiasmado con esta ecuación, Porque ¿sabes? ¿cómo llegué a tener 37
años sin escuchar la constante de Feigenbaum? Desde que leí el libro "Caos" de James Gleeks,
he querido hacer videos sobre este tema y ahora finalmente lo estoy tratando y espero
hacerlo bien porque lo encuentro increíblemente fascinante y espero que tú también..